Vorbemerkung

• Ein besonderes Augenmerk wird in diesem Unterrichtsvorhaben auf die Einführung in die elementaren Bedienkompetenzen der verwendeten Software und des GTR gerichtet.
• Als Kontext für die Beschäftigung mit Wachstumsprozessen können zunächst Ansparmodelle (insbesondere lineare und exponentielle) betrachtet werden und mithilfe einer Tabellenkalkulation verglichen werden.
  Für kontinuierliche Prozesse und den Übergang zu Exponentialfunktionen werden verschiedene Kontexte (z.B. Bakterienwachstum, Abkühlung) untersucht.
• Anknüpfend an die Erfahrungen aus der SI werden quadratische Funktionen (Scheitelpunktsform) und Parabeln unter dem Transformationsaspekt betrachtet. Systematisches Erkunden mithilfe des GTR eröffnet den Zugang zu Potenzfunktionen und Sinusfunktionen.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten sowie von quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen beschreiben.
• Ich kann die Definition einer Potenzfunktion n-ten Grades benennen.
• Ich kann folgende Eigenschaften von Potenzfunktionen benennen und erläutern:
  • f(0) = 0; der Graph geht durch den Punkt S (0|0).
  • f(x) ≥ 0, bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten.
  • –∞ < f(x) < +∞ bei Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten.
• Ich kann Potenzfunktionen zeichnen.
• Ich kann die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion aus gegebenen Punkten bestimmen.
• Ich kann die Definition einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades benennen.
• Ich kann folgende Eigenschaften ganzrationaler Funktionen und ihrer Graphen benennen und erläutern:
  • Verhalten für x → ±∞.
  • Verhalten für x nahe 0.
• Ich kann allgemein erläutern und konkret anwenden, dass der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge D_f genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wenn für alle x aus D_f gilt: f(–x) = f(x).
• Ich kann allgemein erläutern und konkret anwenden, dass der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge D_f genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) ist, wenn für alle x aus D_f gilt: f(–x) = –f(x).
• Ich kann allgemein erläutern und konkret anwenden, dass der Graph einer ganzrationalen Funktion f genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft, wenn der Funktionsterm f(x) nur Potenzen mit geraden Exponenten enthält.
• Ich kann allgemein erläutern und konkret anwenden, dass der Graph einer ganzrationalen Funktion f genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) verläuft, wenn der Funktionsterm f(x) nur Potenzen mit ungeraden Exponenten enthält.
• Ich kann die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen, je nachdem, in welcher Darstellungsform die Funktionsgleichung gegeben ist, mit folgenden Verfahren bestimmen:
  • Durch Ablesen, wenn die Funktionsgleichung nur aus Linearfaktoren besteht.
  • Durch Faktorisieren, wenn alle Summanden des Funktionsterms Variable enthalten (es also kein absolutes Glied gibt).
  • Durch Ersetzen der Variablen (Substitution), wenn der Funktionsterm nur die Potenzen x² und x⁴ oder x³ und x⁶ (usw.) enthält.
• Für leistungsstarke Kurse oder für Binnendifferenzierung:
  • Durch Polynomdivision, wenn man eine Nullstelle z.B. durch Ausprobieren herausgefunden hat.
• Ich kann Anwendungssituationen mit ganzrationalen Funktionen mathematisch modellieren.

• Ich kann Wachsttumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen beschreiben.
• Ich kann erläutern, dass zwei Formen des Wachstums besonders häufig auftreten und diese beschreiben.
• Ich kann lineares Wachstum mathematisch korrekt beschreiben:
  • Nimmt die 1. Größe um 1 zu, so wächst die 2. Größe jeweils um einen festen Summanden (Wachstumsrate) d.
• Ich kann exponentielles Wachstum mathematisch korrekt beschreiben:
  • Nimmt die 1. Größe um 1 zu, so wächst die 2. Größe jeweils mit einem festen Wachstumsfaktor q.
• Ich kann Beispiele aus konkreten Kontexten für lineares und exponentielles Wachstum benennen.
• Ich kann die Definition einer Exponentialfunktion benennen.
• Ich kann folgende Eigenschaften von Exponentialfunktionen f mit f(x) = c·a^x ; c > 0, benennen:
  • Sie besitzen keine Nullstellen. Ihr Graph verläuft immer oberhalb der x-Achse.
  • Alle Graphen verlaufen durch den Punkt A (0|c).
  • Für sehr große x-Werte bei a < 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Achse beliebig nahe an.
  • Für sehr kleine x-Werte bei a > 1 nähern sich die Funktionswerte der x-Achse beliebig nahe an.
• Ich kann aus zwei vorgegebenen Punkten die zugehörige Funktionsgleichung bestimmen.
• Ich kann die Definition des Logarithmus benennen.
  • Der Logarithmus von b zur Basis a, also log_a(b) ist die Lösung der Exponentialgleichung a^x = b  (a, b > 0).
  • log_a(b) ist also diejenige Zahl, mit der man die Basis a potenzieren muss, um b zu erhalten.
• Ich kann Logarithmen bestimmen.
• Ich kann Exponentialgleichungen lösen.
• Ich kann Problemstellungen aus verschiedenen Kontexten mithilfe von Exponentialgleichungen lösen.
• Ich kann die Begriffe Halbwertszeit und Verdopplungszeit beschreiben und sie in entsprechenden Kontextsituationen (radioaktiver Zerfall, Zinseszinsrechnung) berechnen.

• Ich kann einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen) anwenden.
• Ich kann die zugehörigen Parameter richtig deuten.

• Ich kann erläutern, dass Winkel im Grad- oder Bogenmaß angegeben werden können, wobei π dem Gradmaß 180° und 2π dem Gradmaß 360° entspricht.
• Ich kann zwischen Anwendungen der Winkelfunktionen in der Trigonometrie zur Dreiecksberechnung (Gradmaß) und Anwendungen zur Beschreibung periodischer Vorgänge (Bogenmaß) unterscheiden.
• Ich kann die Definition einer periodischen Funktion benennen.
  • Eine Funktion f heitß periodisch, wenn es mindestens eine Zahl p gibt, so dass für alle reellen Zahlen x gilt: f(x+p) = f(x).
  • Die kleineste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft nennt man die Periode von f.
• Ich kann erläutern, dass die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion periodische Funktionen sind und habe eine Vorstellung vom Graphen der Sinusfunktion.
• Ich weiß, dass das Bogenmaß eines Winkels das Verhältnis der zugehörigen Bogenlänge zum Radius und einheitenlos ist, wodurch es im Einheitskreis der Länge des zugehörigen Kreisbogens entspricht.
• Ich kann die Definition der Sinusfunktion benennen.
  • Fasst man jede reelle Zahl x als Bogenmaß eines Winkels auf, so wird hierdurch die Sinusfunktion f mit f(x) = sin(x) für alle reellen Zahlen definiert.
  • Die Sinusfunktion hat die Periode 2π.
  • Die Sinusfunktion ist eine sogenannte trigonometrische Funktion.
• Entsprechend kann ich die Definitionen der Kosinusfunktion und der Tangensfunktion benennen.
• Ich kann erläutern, dass die Sinusfunktion eine gerade Funktion und die Kosinusfunktion eine ungerade Funktion ist.
• Ich weiß, dass man den Graphen der Kosinusfunktion durch eine Verschiebung des Graphen der Sinusfunktion um π/2 gegen die Richtung der x-Achse erhält. Es gilt also: cos(x) = sin(x + π/2).
• Ich kann periodische Vorgänge mithilfe der Sinusfunktion bescheiben. Ich weiß, dass dafür die Funktion f mit f(x) = sin(x) an die Gegebenheiten angepasst werden muss (Veränderung der Amplitude und der Periode, Verschiebung in x-Richtung, Verschiebung in y-Richtung)

• Ich kann die Transformationen "Streckung" und "Verschiebung" von Funktionsgraphen mathematisch richtig beschreiben, erläutern und in konkreten Situationen anwenden.
  • Den Graphen der Funktion g mit g(x) = f (x – c) + d erhält man, indem man den Graphen von f um c in Richtung der x-Achse und um d in Richtung der y-Achse verschiebt.
    • c > 0: Verschiebung nach rechts.
    • c < 0: Verschiebung nach links.
  • Den Graphen der Funktion h mit h(x) = k·f(x) ; k > 0, erhält man, indem man den Graphen von f an der x-Achse aus in y-Richtung mit dem Faktor k streckt. Wenn k < 0 ist, muss man den Graphen an der x-Achse spiegeln, bevor man ihn streckt.

• Speziell für die Sinusfunktion kann ich folgende Aussagen benennen.
  • Für die Funktion f mit f(x) = a · sin(b(x – c)) + d mit a, b, c, d ∈ R; b > 0 gilt:
    • f hat die Amplitude ∣a∣.
    • f hat die Periode p = 2π/b.
    • Der Graph von f ist gegenüber dem Graphen der Sinusfunktion um c Längeneinheiten in c-Richtung und um d Längeneinheiten in y-Richtung verschoben.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunke)

Modellieren

• Ich kann zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine kokrete Fragestellung erfassen und strukturieren.
• Ich kann zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen.

Werkzeuge nutzen

• Ich kann Tabellenkalkulation, Funktionenplotter und grafikfähige Taschenrechner nutzen.
• Ich kann verschiedene digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle verwenden.
• Ich kann verschiedene digitale Werkzeuge zum zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen verwenden.