Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann durchschnittliche und lokale Änderungsraten berechnen.
• Ich kann eine durchschnittliche Änderungsrate in Anlehnung an den Steigungsbegriff von Geraden (m = ∆y/∆x) als Wert eines Differenzenquotienten deuten.
• Ich kann z. B. aus einer Weg-Zeit-Tabelle bzw. dem zugehörigen Graphen die Durchschnittsgeschwindigkeit in einem bestimmten Zeitintervall durch den Differenzenquotienten (Differenz der Streckenlängen durch Differenz der zugehörigen Zeiten) berechnen.
• Ich kann erläutern, warum im jeweiligen Intervall von Durchschnittsgeschwindigkeit gesprochen wird, und weiß, dass man diesen Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate bezeichnet.
• Ich kann die mittlere Änderungsrate bzw. den Differenzenquotienten in einem Intervall auf Funktionen übertragen.
• Ich kann die Definition der Sekante eines Graphen angeben.
• Ich kann begründen, dass die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q des Graphen einer Funktion gleich dem Wert des Differenzenquotienten der Funktion f auf dem durch die Punkte P und Q festgelegten Intervall ist:

• Ich kann an Beispielen verdeutlichen, dass die mittlere Änderungsrate bei ein und derselben Funktion ganz wesentlich vom gewählten Intervall abhängig ist.
• Ich kann begründen, dass man z.B. bei der Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Zeitintervall zwischen den Zeitpunkten t und (t + Δt) dem tatsächlichen Wert der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t (Momentangeschwindigkeit, Tachometeranzeige) dadurch wesentlich näher kommt, dass man das Zeitintervall Δt immer kleiner werden lässt.
• Ich kann durchschnittliche und lokale Änderungsraten im Kontext interpretieren.
• Ich kann qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate erläutern.
• Ich kann folgenden Sachverhalt erläutern: Wenn man bei dem Differenzenquotienten $\frac{f(x+h)–f(x)}{h}$ oder $\frac{f(x+∆x)–f(x)}{∆x}$ die Intervalllänge h bzw. Δx immer kleiner werden lässt, also h bzw. Δx gegen Null strebt (h → 0 , Δx → 0), und der Differenzenquotient dabei gegen einen berechenbaren Wert strebt, Grenzwert genannt, so nennt man diesen Grenzwert die Ableitung von f an der Stelle x und schreibt dafür:

• Aus der mittleren Änderungsrate wird die momentane Änderungsrate. Geometrisch wird dabei aus der Folge von Sekanten eine Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x; f(x)).
• Ich kann den Unterschied zwischen der Sekante zwischen P und Q und der Tangente in P an den Graphen von f anschaulich mit einem dynamischen Geometrieprogramm (z.B. GeoGebra) demonstrieren, da ich damit anschaulich nachvollziehen kann, wie der Punkt Q auf dem Graphen von f auf den Punkt P zuwandert und aus der Sekante die Tangente wird.

• Ich kann die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten deuten.
• Ich kann die Definition der Tangente an den Graphen einer Funktion f im Punkt P=(x|f(x)) als die Gerade, die dieselbe Steigung wie der Graph von f im Punkt P hat, angeben.
• Ich kann an Beispielen begründen, dass die Tangente den Graph von f im Punkt P nicht unbedingt berührt, sondern auch schneiden kann.
• Ich kann begründen, dass dieser Tangentenbegriff ein anderer als der vom Kreis her bekannte Tangentenbegriff ist.
• Ich kann die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate / Tangentensteigung deuten.
• Ich kann die Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion angeben.
• Ich kann mit dem Differenzenquotienten die Ableitung von Potenzfunktionen, der Wurzelfunktion und der Funktion f(x)=1/x an einer beliebigen Stelle berechnen.
• Ich kann die Potenzregel der Differentialrechnung angeben und anwenden:  [f(x) = xⁿ , n Є Q  ⇒  f'(x) = n∙x^n-1].
• Ich kann mithilfe des Differenzenquotienten die Summen- und Faktorregel der Differentialrechnung beweisen.
• Ich kann die Summen- und Faktorregel der Differentialrechnung anwenden:
  • f(x) = u(x)+v(x)  ⇒  f'(x) = u'(x)+v'(x)
  • f(x) = r·u(x) , r Є R  ⇒  f'(x) = r∙u'(x)

• Ich kann Änderungsraten funktional beschreiben und interpretieren (Ableitungsfunktion).
• Ich kann die Funktion f', die 1. Ableitungsfunktion von f (oder einfach Ableitung von f) charakterisieren als die Funktion, die jeder Stelle x Є D_f die Ableitung f'(x) an dieser Stelle x zuordnet.
• Ich kann die Ableitungen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen.
• Entsprechend kann ich aufzeigen, dass es die zweite Ableitung von f, also f" gibt, wenn f' selbst wieder differenzierbar ist (allgemein ist die n-te Ableitung f⁽ⁿ⁾ von f die Ableitung von f^(n-1), falls f^(n-1) differenzierbar ist).
• Ich kann zu mehreren gegebenen Graphen von unterschiedlichen Funktionen und deren Ableitungsfunktionen die richtige Zuordnung treffen (welche Ableitungsfunktion gehört zu welcher Funktion) und meine Entscheidung auch begründen.

• Ich kann Funktionen graphisch ableiten.
• Ich kann Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen begründen.
• Ich kann die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion nennen.