Vorbemerkung

• Die Behandlung stochastischer Prozesse ermöglicht es, zentrale Begriffe aus Stochastik (Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit) und Analysis (Grenzwert) mit Begriffen und Methoden der Linearen Algebra (Vektor, Matrix, lineare Gleichungssysteme) zu vernetzen.
• Schülerinnen und Schüler modellieren dabei in der Realität komplexe Prozesse, deren langfristige zeitliche Entwicklung untersucht und als Grundlage für Entscheidungen und Maßnahmen genutzt werden kann.
• Untersuchungen in unterschiedlichen realen Kontexten führen zur Entwicklung von Begriffen zur Beschreibung von Eigenschaften stochastischer Prozesse (Potenzen der Übergangsmatrix, Grenzmatrix, stabile Verteilung, absorbierender Zustand).
• Eine nicht obligatorische Vertiefungsmöglichkeit besteht darin, Ausgangszustände über ein entsprechendes Gleichungssystem zu ermitteln und zu erfahren, dass der GTR als Hilfsmittel dazu die inverse Matrix bereitstellt.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Fettdruck und Kursivdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen, die über das Grundkursniveau hinausgehen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann die Definition einer m x n-Matrix richtig angeben:
  • Eine Zahlentabelle der Form $A=\begin{pmatrix} {a}_{11} & {a}_{12} & … & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & … & {a}_{2n} \\ … & … & … & … \\{a}_{m1} & {a}_{m2} & … & {a}_{mn} \end{pmatrix}$, m, n € N mit a_ij € R für alle vorkommenden i, j heißt Matrix A mit m Zeilen und n Spalten, kurz m x n-Matrix.
  • Man schreibt kurz: A = (a_ij); i = 1, ... , m (Zeilennummer) ;  j =  1, ... , n (Spaltennummer)
• Ich weiß, dass eine Matrix A quadratisch heißt, wenn sie ebenso viele Zeilen wie Spalten hat, d.h. wenn gilt: m = n.
• Ich kann die Definition des Vervielfachen von Matrizen richtig angeben:
  • Eine Matrix A wird mit einer reellen Zahl r vervielfacht (multipliziert), indem man jedes Element von A mit r multipliziert. Man schreibt kurz: r · A = r·(a_ij) = (r·a_ij).
  • r · A heißt das r-fache der Matrix A.
• Ich kann die Definition des Addierens von Matrizen richtig angeben:
  • Zwei Matrizen B und C vom selben Typ, d.h. mit jeweils derselben Anzahl an Zeilen bzw. Spalten, werden addiert, indem man die in den Matrizen an gleichen Stellen stehenden Elemente addiert.
  • Man schreibt kurz: B + C = (b_ij) + (c_ij) = (b_ij + c_ij)
  • B + C heißt die Summer der Matrizen B und C.
• Ich kann die Definition des Multiplizierens von Matrizen richtig angeben:
  • Gegeben sind eine l x m-Matrix A = (a_ij) und eine m x n-Matrix b = (b_jk). Dann ist das Produkt der beiden Matrizen A und B als eine l x n-Matrix C = (c_ik) definiert, deren Elemente man wie folgt erhält:
    • Jedes Element c_ik von C = (c_ik) berechnet man als Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem k-ten Spaltenvektor der Matrix B. Man schreibt C = A · B.
• Ich kann aus der Definition der Multiplikation von Matrizen erkennen, dass man zu zwei Matrizen A und B nur dass das Produkt A · B bilden kann, wenn die Anzahl der Spalten des ersten Faktors A mit der Anzahl der Zeilen des zweiten Faktors B übereinstimmt.
• Ich kann aus der Definition der Multiplikation von Matrizen erkennen, dass man zur Durchführung der Multiplikation die Matrix A zeilenweise liest und die Matrix B spaltenweise. Die Elemente des Produktes erhält man als Skalarprodukt der Zeilenvektoren von A mit den Spaltenvektoren von B.
• Ich kann die Definition der Einheitsmatrix richtig angeben:
  • Eine quadratische n x n-Matrix E = (e_ij) heißt Einheitsmatrix, wenn für ihre Elemente e_ij gilt: e_ij = 1, falls i = j; e_ij = 0, falls i ≠ j.
  • Für alle quadratischen n x n-Matrizen A gilt: A · E = E · A = A.
• Ich kann die Definition zueinander inverser Matrizen richtig angeben:
  • Zwei quadratische n x n-Matrizen A und B mit A · B = B · A = E heißen invers zueinander. Die zu einer Matrix A inverse Matrix wird oft mit A^-1 bezeichnet.

• Ich kann stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen beschreiben.
• Ich kann die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände) verwenden.
  • Ich weiß, was man unter stochastischen Prozessen versteht:
    • Systeme, di in regelmäßig aufeinander folgenden Zeitpunkten beobachtet werden und von Beobachtung zu Beobachtung mit konstanten Wahrscheinlichkeiten zwischen verschiedenen Zuständen wechseln - und dabei eventuell irgendwann zur Ruhe kommen.
  • Ich kann erklären, wie man die Veränderung von Zuständen und die Entwicklung von Populationen mithilfe von Matrizen beschreiben kann.
    • Zustandsänderungen kann man übersichtlich mithilfe eines sogenannten Übergangsdiagramms oder einer Übergangsmatrix darstellen.
    • In einem Übergangsgraphen (Übergangsdiagramm) werden Zustände und deren Übergangsbedingungen anschaulich dargestellt. Diese Übergangsbedingungen können die Anteile der Objekte angeben, die während eines Zeitraums von einem Verteilungszustand in einen anderen übergehen. Sie können aber auch Wahrscheinlichkeiten sein, mit denen ein Objekt von dem einen Zustand in einen anderen wechselt.
    • In einer Übergangsmatrix werden die Übergangsbedingungen tabellarisch zusammengefasst. Wenn man die Zugänge zeilenweise und die Abgänge spaltenweise notiert, kann man aus einer Anfangsverteilung, die durch einen Vektor dargestellt wird (Zustandsvektor) die zeitlich folgende Verteilung durch Multiplikation der Übergangsmatrix mit dem Vektor berechnen.
  • Ich kann die Definition einer stochastischen Matrix richtig angeben:
    • Eine Matrix M heißt stochastisch, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
      • M ist eine quadratische Matrix
      • M besteht nur aus nicht-negativen Zahlen
      • Die Spaltensummen von M haben jeweils den Wert 1.
  • Ich kann die Definition eine stationären Verteilung und eines Fixvektors richtig angeben:
    • Ist M eine Matrix und vec(x) ≠ vec(0) ein Vektor mit M · vec(x) = vec(x), so heißt der Vektor vec(x) Fixvektor bezüglich M.
    • Ist die Matrix M eine Übergangsmatrix und der Anfangsvektor vec(x) ein Fixvektor bezüglich M, so nennt man die durch vec(x) beschriebenen Verteilung eine stationäre Verteilung.
  • Ich kann zurückliegende Verteilungen mithilfe eines Gleichungssystems bestimmen.
  • Ich kann zurückliegende Verteilungen mithilfe des GTR und der inversen Matrix bestimmen: vec(x_-1) = M^-1 · vec(x₀).

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunke)

• Modellieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  
  • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
  • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)
  • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
  • beziehen die erabeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren)