Vorbemerkung

• Die Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen sind eine weitere Anwendung ganzrationaler Funktionen. Hierbei geht es darum, Größen (z.B. Seitenlängen eines Rechtecks) so zu bestimmen, dass unter den gegebenen Rahmenbedingungen eine weitere Größe (z.B. Flächeninhalt des Rechtecks) möglichst groß bzw. klein wird. Die Schwierigkeit besteht zunächst darin, die Zielfunktion zu bestimmen, welche die Größe beschreibt, die möglichst groß bzw. klein sein soll.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurückführen und diese lösen.
• Ich kann eine Planskizze von der Sachsituation anfertigen und geeignete Variablen einführen, um die Problemstellung darzustellen und besser zu verstehen
• Ich kann die Hauptbedingung aufstellen, indem ich die zu optimierende Größe (A) in Abhängigkeit von einer oder mehreren Variablen darstelle (x und y): A(x, y)=x*y
• Ich kann die Nebenbedingung aufstellen, indem ich zwischen den in der Hauptbedingung vorkommenden Variablen x und y eine Beziehung herstelle. Hierzu nutze ich Planskizzen, Flächen- und Volumenformeln und geometrische Sätze wie Pythagoras und Strahlensatz.
• Ich kann die Zielfunktion aufstellen, indem ich die Nebenbedingung nach einer der beiden Variablen x oder y auflöse und das Ergebnis in die Hauptbedingung einsetze. So erreiche ich, dass die zu optimierende Größe A nur noch von einer Variablen abhängt.
• Ich kann den Definitionsbereich der zu optimierenden Funktion für den Sachzusammenhang geeignet wählen.
• Ich kann das Optimum der Zielfunktion im Definitionsbereich bestimmen. Dazu untersuche ich die Zielfunktion auf relative Extrema und auf Randmaxima und -minima.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren

• Modellbildung

1. Ich kann die Problemstellung beschreiben; event. Vereinfachungen machen und Festlegungen treffen.
2. Ich kann die Variablen festlegen.
3. Ich kann die Zielfunktion aufstellen
4. Ich kann die Nebenbedingungen aufstellen
5. Ich kann mit 4. die Zielfunktion als Funktion einer Variablen ausdrücken.
6. Ich kann das infragekommende Intervall für die Variable notieren.
7. Ich kann die Problemstellung aus 1. als mathematische Aufgabe reformulieren.

• Arbeiten im mathematischen Modell

1. Ich kann evtl. eine Skizze des Funktionsgraphen über dem interessierenden Intervall aufstellen.
2. Ich kann die Ableitung bilden und deren Nullstelle(n) bestimmen.
3. Ich kann prüfen, ob die Werte im interessierenden Intervall liegen.
4. Ich kann die zweite Ableitung bilden und die potentiellen Extremwerte mit Hilfe der 2. Ableitung prüfen (oder eine andere hinreichende Begründung für relative Extrema).
5. Ich kann Extremalwerte der anderen Variablen und der Zielfunktion berechnen.
6. Ich kann mögliche Randextrema überprüfen (d.h. ich muss sicherstellen, dass das lokale Extremum auch ein globales ist).

• Reinterpretation

1. Ich kann die Gesamtantwort auf die Ausgangsproblemstellung ausformulieren.
2. Ich kann evtl. das in der Modellbildung entwickelte Modell erweitern und korrigieren.