Vorbemerkung

• Die Untersuchung der Lagebeziehung zwischen zwei geometrischen Objekten ist ein Kernproblem, wenn es um die Modellierung realer Situationen geht. Die Frage nach dem Kollisionsort zweier Flugzeuge ist ebenso wie die Frage nach dem Auftreffpunkt eines Tennisballs in einem Tennisfeld eine Frage nach dem Schnittpunkt zwischen zwei geometrischen Objekten: im ersten Fall die nach dem Schnittpunkt zweier Geraden, im zweiten Fall, die nach dem Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene.

• Dieses Unterrichtsvorhaben beschäftigt sich damit, für solche Fragestellungen möglichst effiziente Rechenverfahren zu erarbeiten. Dabei werden jeweils alle Möglichkeiten der Lagebeziehung zwischen den jeweiligen geometrischen Objekten in den Blick genommen.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen berechnen und sie im Sachkontext deuten.
  • Ich kann Schnittpunkte zwischen zwei Objekten in Parameterform durch Gleichsetzen bei unterschiedlicher Wahl der Parameter und Lösen des LGS berechnen.
• Ich kann Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden untersuchen.
  • Ich weiß, dass zwei Geraden identisch, parallel, schneidend oder windschief zueinander verlaufen können und kann diese Beziehungen anschaulich beschreiben.
  • Ich kann mithilfe des folgenden Verfahrens die Lagebeziehung zwischen zwei Geraden g und h rechnerisch untersuchen:
    • Sind die Richtungsvektoren von g und h kollinear?
      • Falls ja: Ist der Aufpunkt von g ein Punkt von h? (Setze dazu den Aufpunkt von g in die Gleichung von h ein.)
        • Falls ja: Die Geraden sind identisch.
        • Falls nein: Die Geraden sind parallel.
      • Falls nein: Schneiden sich g und h? (Setze dazu die Geraden g und h bei Wahl unterschiedlicher Parameter gleich.)
        • Falls ja: Die Geraden schneiden sich.
        • Falls nein: Die Geraden sind windschief.
• Ich kann Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen untersuchen.
  • Ich weiß, dass es drei mögliche Lagebeziehungen zwischen einer Gerade und einer Ebene gibt: die Gerade liegt in der Ebene, schneidet die Ebene in einem Punkt oder verläuft parallel zur Ebene.
  • Zur Untersuchung kann ich ein LGS aufstellen, indem ich die Parameterformen von Gerade und Ebene bei Wahl unterschiedlicher Parameter gleichsetze.
  • Ich kann anhand der Lösungesmenge des LGS entscheiden, welche Lagebeziehung Gerade und Ebene zueinander haben:
    • Ist die Lösungsmenge leer, verlaufen Gerade und Ebene parallel zueinander.
    • Enthält die Lösungsmenge genau eine Lösung, so schneiden sich Gerade und Ebene in einem Punkt.
    • Enthält die Lösungsmenge unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte)

• Werkzeuge nutzen
  Die Schülerinnen und Schüler
  • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum…
    • Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen,
    • Darstellen von Objekten im Raum.

• Begründen
  Die Schülerinnen und Schüler
  • nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen,
  • verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten,
  • berücksichtigen vermehrt logische Strukturen,
  • erklären vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise.