Vorbemerkung

• Anhand verschiedener Glücksspiele wird zunächst der Begriff der Zufallsgröße und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung (als Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten, die die Zufallsgröße annimmt) zur Beschreibung von Zufallsexperimenten eingeführt.
• Analog zur Betrachtung des Mittelwertes bei empirischen Häufigkeitsverteilungen wird der Erwartungswert einer Zufallsgröße definiert.
• Über geeignete Beispiele von Verteilungen mit gleichem Mittelwert, aber unterschiedlicher Streuung, wird die Definition der Standardabweichung als mittlere quadratische Abweichung im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen motiviert; über gezielte Veränderungen der Verteilung wird ein Gefühl für die Auswirkung auf deren Kenngrößen entwickelt.
• Anschließend werden diese Größen zum Vergleich von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und zu einfachen Risikoabschätzungen genutzt.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann Lage- und Streumaße von Stichproben untersuchen.
  • Ich weiß, dass Lagemaße Zahlen sind, die man aus einer Stichprobe berechnen oder ablesen kann. Sie geben an, in welchem Bereich die Zahlen liegen. 
  • Ich kenne die Definition folgender Lagemaße und kann ihre Werte berechnen:
    • Mittelwert
    • Modalwert
      • Der am häufigsten auftretende Wert einer Liste.
    • Zentralwert / Median
      • Es ist der geanu in der Mitte stehende Wert einer geordneten Liste für eine ungerade Anzahl von Elementen.
      • Bei einer geraden Anzahl von Elementen ist es das arithmetische Mittel der in der Mitte stehenden Zahlen.
    • Spannweite
      • Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum der Liste.
  • Ich kenne die Defintion folgender Streumaße und kann ihre Werte berechnen:
    • Mittlere Abweichung vom Mittelwert
    • Varianz und Standardabweichung
• Ich kann den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen erläutern.
  • Ich kenne die Definition einer Zufallsgröße:
    • Eine Zufallsgröße X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.
  • Häufig ist diese reelle Zahl der Gewinn (positiver Wert) bzw. der Verlust (negativer Wert) in EUR, der mit dem Ausgang des Zufallsversuches verbunden ist.
• Ich kann den Erwartungswert und die Standardabweichung von Zufallsgrößen bestimmen und damit prognostische Aussagen treffen.
  • Ich kann die Definition des Erwartungswertes einer Zufallsgröße angeben:
    •  µ = E(X) = x₁ · P(X=x₁) + x₂ · P(X=x₂) + … + x_n · P(X=x_n)
  • Ich kann die Definition der Varianz einer Zufallsgröße angeben:
    • V(X) = (x₁ – µ)²· P(X=x₁) + (x₂ – µ)²· P(X=x₂) + …  + (x_n – µ)²· P(X=x_n)
  • Ich kann die Definition der Standardabweichung einer Zufallsgröße angeben: $σ=\sqrt{V(x)}$

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunke):

• Modellieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  • treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren)
  • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
  • beziehen die erabeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren)